矩阵论3：线性变换

矩阵即变换

线性变换定义

设 $V_1,V_2$ 是数域 $F$ 上的线性空间，映射 $T: V_1\to V_2$ ，如果这个映射保持加法运算和数乘运算，即

$$\def\bm{\boldsymbol} \forall \bm \alpha,\bm \beta \in V_1,k\in F \begin{cases} &T(\bm \alpha + \bm \beta) =T(\bm \alpha) + T(\bm \beta) \\\\ &T(k\bm\alpha)=kT(\bm \alpha) \end{cases}$$

则称 $T$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 上的线性映射。

特别的，当 $V_1=V_2=V$ 时，称 $T$ 为 $V$上的线性变换。

例1：不是线性映射

$$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\\ \pmatrix{x_1\\x_2} \mapsto \pmatrix{x_1x_2\\x_1+x_2}$$

例2：是线性映射，不是线性变换

$$T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\\ \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto \pmatrix{x_1+x_2\\x_3-x_2}$$

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线性变换的矩阵表达

矩阵即变换（映射）

很明显 $T(\bm x)=A_{m\times n}\bm x$ 是一个映射，且保持加法运算和数乘运算，所以矩阵是一种线性映射

变换（映射）即矩阵

设 $\bm \alpha_1,…,\bm \alpha_n$ 是 $V_1$ 的一组基， $\bm \beta_1,…,\bm \beta_m$ 是 $V_2$ 的一组基，存在线性映射 $T: V_1\to V_2$ ，则

$$T(\bm \alpha_i) = a_{1i}\bm\beta_1+...+a_{mi}\bm\beta_m$$

定义符号

$$T(\bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n) = (T(\bm\alpha_1),...,T(\bm\alpha_n))$$

从而有

$$T(\bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n) = (\bm \beta_1,...,\bm \beta_m)A$$

其中 $A=[a{ij}]{m\times n}$

向量空间中的任何向量都是一组基的线性组合，因此确定了基的变换，就确定了其中任意一个向量的变换方式，所以线性映射可以用矩阵表示。

从而有对于任何 $\bm \alpha=(\bm \alpha_1,…,\bm \alpha_n)\bm x \in V_1$ ，通过线性映射 $T$ 得到的 $\bm \beta=(\bm \beta_1,…,\bm \beta_n)\bm y \in V_2$

$$\begin{align} T((\bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n)\bm x) &= (\bm \beta_1,...,\bm \beta_m)A\bm x \\ & = (\bm \beta_1,...,\bm \beta_m)\bm y \end{align}$$ $$\Rightarrow \bm y = A\bm x$$

当 $V_1=V_2$ ，即线性变换；不失一般性地假定 $(\bm \alpha_1,…,\bm \alpha_n) = I$ ，则 $T(x)=Ax$ ；而在证明过程中转置 $(\bm \alpha_1,…,\bm \alpha_n)$ ，则会得到 $T(x)=xA’$ ，即线性变换的左乘形式。

例：几个简单的线性变换

旋转变换：逆时针旋转角 $\theta$

$$\bm y = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \bm x$$

反射变换：关于 $l_\theta$ 对称

$$\bm y = \begin{pmatrix} \cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix} \bm x$$

伸缩变换

$$\bm y = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \bm x$$

投影变换

$$\bm y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \bm x$$

其中旋转变换、反射变换和伸缩变换可逆，是双射，即同构变换；而投影变换不可逆，是单射，即同态变换

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线性变换的性质

线性相关

$$\def\bm{\boldsymbol} \bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n \text{ 线性相关} \Rightarrow T(\bm\alpha_1),...,T(\bm \alpha_n) \text{ 线性相关}$$

注意反向不成立，例如对于 $T(\bm x)=\theta \bm x$

矩阵也是向量

$L(V)$ （也就是 $R^{n\times n}$ ）表示 $V$ 上的所有线性变换的集合，则对任意 $T,T_1,T_2 \in L(V),\alpha \in V,k\in F$，定义符合矩阵运算的加法和数乘，

$$(T_1+T_2)(\alpha) \equiv T_1(\alpha) + T_2(\alpha) \\ (kT)(\alpha) \equiv kT(\alpha)$$

易于证明其 $L(V)$ 也是向量空间，也就是说，矩阵既是向量的线性变换形式，自身也是一种向量。

基的变换，线性变换的表示矩阵如何改变

设 $T$ 为 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换，对于 $V$ 的基 $\bm \alpha_1,…,\bm \alpha_n$ 和 $\bm \beta_1,…,\bm \beta_n$ 分别表示为 $A$ 和 $B$，并且存在过渡矩阵 $P$，

$$(\bm \beta_1,...,\bm \beta_n) = (\bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n)P$$

则有，

$$\begin{align} &(\bm \beta_1,...,\bm \beta_n)B \\ \\ = &T(\bm \beta_1,...,\bm \beta_n) \\ \\ = &T[(\bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n)P] \\ \\ = &(\bm \alpha_1,...,\bm \alpha_n)AP \\ \\ = &(\bm \beta_1,...,\bm \beta_n)P^{-1}AP\\ \\ \Rightarrow &B=P^{-1}AP \end{align}$$

同一个线性变换，当基改变后，其矩阵表示也会改变，但它们是相似的，而相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。