矩阵论4：子空间、值域与核、不变子空间

本章介绍一些之前几篇文章为了逻辑顺畅暂且搁置的知识。

子空间

在介绍本章的主角线性空间之前，我们要先铺垫一下子空间的概念。

定义

定义：设有线性空间 $\def\bm{\boldsymbol} V_1$ 及 $V_2$ 。如果 $V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间。

例：$V$ 和 ${\bm\theta}$ 是 $V$ 的子空间，称它们为平凡子空间，其余的为非平凡子空间。

例：集合 $\lbrace T=\boldsymbol x|\boldsymbol x=[x_1,x_2,0]^T,\ x_1,x_2\in R \rbrace$ 是一个向量空间，它是 $R^3$ 中的向量 $[x_1,x_2,x_3]^T$ 在 $x_1x_2$ 平面上的投影空间，是 $R^3$ 的一个子空间。

例：$R^3$ 不是 $R^4$ 的子空间。

定理：子空间判别法

数域 $F$ 上的向量空间 $V$ 的非空子集 $U$ 是向量空间（ $V$ 的子空间 ）的充要条件是 $U$ 对 $V$ 中规定的加法和数乘都封闭。

⭐ 这意味着子空间只要对原空间的两个运算封闭即可，因为子空间的八条定律继承自父空间。

交与和

定理（交集）：设 $V_1,V_2$ 是数域 $F$ 上的向量空间 $V$ 的两个子空间，则它们的交集 $V_1\cap V_2$ 也是 $V$ 的子空间。

定理（和）：设 $V_1,V_2$ 是数域 $F$ 上的向量空间 $V$ 的两个子空间，定义 $V_1,V_2$ 的和如下，

$$\def\bm{\boldsymbol} \def\span{\text{span}} \begin{align} V_1+V_2 &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \bm\alpha+\bm\beta|\bm\alpha\in V_1,\bm\beta \in V_2 \} \\ \\ &= \span(\bm\alpha_1,\dots,\bm\alpha_s,\bm\beta_1,\dots,\bm\beta_t) \\ \\ \text{where } &V_1 = \span(\bm\alpha_1,\dots,\bm\alpha_s) \\ \\ &V_2 = \span(\bm\beta_1,\dots,\bm\beta_t) \end{align}$$

其也是 $V$ 的子空间。

⭐问题：为何不研究子空间的并集

反例：由三维空间的 $xy$ 平面和 $yz$ 平面给组成的并集，并不对加法封闭。

本质：交与和 是对子空间的基进行交和并运算（用线性相关替代重复的意义下），而不是对于集合进行交和并运算，恰巧集合的交和基的交相同，而集合的并和基的并不相同

定理：维数公式

设 $V_1,V_2$ 是数域 $F$ 上的向量空间 $V$ 的两个有限维子空间，则它们的 交 和 和 都是有限维的，并且

$$\def\dim{\text{dim}} \dim(V_1+V_2) = \dim(V_1)+\dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)$$

直和（direct sum）

设 $V_1,V_2$ 是数域 $F$ 上的向量空间 $V$ 的两个子空间，如果

$$V_1\cap V_2 = \{ \theta \}$$

则称 $V_1+V_2$ 为 $V_1,V_2$ 的直和，记作 $V_1\oplus V_2$ 。

定理：直和分解

设 $V_1$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的一个子空间，则一定存在 $V$ 的另一个子空间 $V_2$（仅当 $V_1 = {\theta }$ 时唯一，为 $V$），使得空间 $V$ 具有直和分解，

$$V = V_1 \oplus V_2$$

并称 $V_1,V_2$ 是一对互补的子空间，或者 $V_1$ 是 $V_2$ 的补子空间。

⭐ 直和分解不唯一

⭐ 三个子空间两两直和，其不一定直和 $ \Leftrightarrow $ 三个向量两两线性无关，其不一定线性无关

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值域与核

定义

若有线性映射 $T:V_1\mapsto V_2$，

线性映射 $T$ 的值域：

$$\def\Im{\text{Im}} \def\Ker{\text{Ker}} \def\bm{\boldsymbol} \Im(T)=R(T)=\{T(\bm \alpha)|\forall \bm \alpha \in V_1\}$$

线性映射 $T$ 的核：

$$\Ker(T)=N(T)=\{ \bm \alpha\in V_1|T(\bm \alpha)=\bm \theta_2 \}$$

⭐ 注意 $\Im(T)$ 是 $V_2$ 的子空间；$\Ker(T)$ 是 $V_1$ 的子空间

⭐ $dim(\Im(T))$ 是经过变换最多保留的维度；$dim(\Ker(T))$ 是经过变换的舍弃的维度，所以

$$dim(\Im(T))+dim(\Ker(T)) = dim(V_1)$$

⭐ $dim(V_2)>dim(\Im(T))$ 即可，可以任意大

当 $V_1=V_2$ ，$T$ 为线性变换时， $\Im(T)$ 的维数即线性变换 $T$ 的秩； $\Ker(T)$ 的维数即线性变换 $T$ 的零度。

$$rank(T)+nullity(T) = n$$

但一般情况下，

$$\Im(T)+\Ker(T)\ne V$$

例如：

在多项式空间 $P[t]_4$ 下微分变换 $D$

$$\Im(D)=P[t]_3,\Ker(D)=P[t]_0\\ \Im(D)+\Ker(D)\ne V$$

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不变子空间

定义

设 $T$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间。如果对任意向量 $\bm \alpha\in W$ 都有 $T(\bm \alpha)\in W$ ，则称 $W$ 是 $T$ 的不变子空间。并且称 $T|_W:W\to W$ 为 $T$ 在 $W$ 上的限制。

例1： ${ \bm \theta } $ 是任意线性空间任意线性变换的不变子空间，因为 $T(\bm\theta)=\bm\theta$ 。

例2： $\Im(T)$ 是 $T$ 的不变子空间，由值域定义显然。

例3： $\Ker(T)$ 是 $T$ 的不变子空间，因为对任意向量 $\bm \alpha\in \Ker(T)$ 都有 $T(\bm \alpha)=\bm \theta$，且 $\bm\theta\in \Ker(T)$ 。

例4： $T$ 的特征子空间

$$V_\lambda=\{ \bm x|T(\bm x)=\lambda \bm x, \bm x \in V \}$$

也是 $T$ 的不变子空间。

定理

定理 1：

线性变换 $T$ 的不变空间的交和和仍然是 $T$ 的不变子空间。

定理 2：

线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 有非平凡的不变子空间的充要条件是 $T$ 在 $V$ 的一组基下的矩阵表示为（相似于）块上三角矩阵，即形如，

$$\pmatrix{A_{11}&A_{12}\\ O&A_{22}}$$

对应的不变子空间形如 $(x_1,\dots,x_m,0,\dots,0)$ 。

其中 $m$ 为 $dim(A_{11})$。

定理 3：

线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 在 $V$ 的一组基下的矩阵表达式为块对角矩阵 $diag\lbrace A_1,A_2,…,A_s\rbrace$ 的充要条件是 $V$ 可以分解为 $T$ 的不变子空间的直和

$$V=W_1\oplus W_2\oplus ...\oplus W_s$$

若 $T$ 可对角化，本定理的块对角矩阵即可变为对角矩阵，其中

$$A_i=\lambda_i \\ W_i = V_{\lambda_i}=\lbrace \bm x|T(\bm x)=\lambda_i \bm x, \bm x \in V \rbrace$$

这个定理既可以求不变子空间，也为下一节中的约当型做出了铺垫。

考点

1. 子空间的判别；
2. 求不变子空间。