矩阵论5：Jordan标准型

Jordan 标准形理论，也即方阵在相似下的分类理论，可以说是线性代数的最深刻的地方。

—— 李炯生 《线性代数》

由于一般矩阵未必与对角矩阵相似，因此我们“退而求其次“，寻找几乎对角的矩阵，这也就是 $Jordan$ 标准型。

定理 对于任意非零矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=J$ ， $J$ 是 $A$ 的 $Jordan$ 标准型

$$J=\text{diag}(J_{e_1}(\lambda_1),...,J_{e_k}(\lambda_s))$$

其中 $\lambda_{i} $ 为 $A$ 的特征值， $J_e(\lambda_i)$ 为 $Jordan$ 块，形如，

$$J_{e_j}(\lambda_i)= \pmatrix{ \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i \\ }_{e_j\times e_j}$$

并且在不考虑对角块顺序的情况下，$J$ 是唯一的。

证明

由于能力和时间有限，不给出 $Jordan$ 标准型定理的完整证明，仅介绍其中两个核心定理，即空间第一分解定理和空间第二分解定理，以便于更深层地理解 $Jordan$ 标准型原理。

空间第一分解定理

设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间，$A:V\to V$ 是线性变换，$\lambda$ 是其特征值，记

$$\def\Ker{\text{Ker}} \def\Im{\text{Im}} W^m_\lambda = \Ker(A-\lambda I)^m$$

由值域的定义 $(A-\lambda I)^m\alpha=0$ ，显然可得，

$$W^1_\lambda\subseteq W^2_\lambda\subseteq...\subseteq W^m_\lambda\subseteq...$$

由于 $V$ 是有限维空间，显然 $\dim W^m_\lambda$ 的维数无法无限增长，易于得到以下结论，存在 $k$ 使得

$$...\subset W_\lambda^{k-1}\subset W_\lambda^k=W_\lambda^{k+1}=...$$

同时易于证明 $W^k_\lambda$ 是不变子空间

根子空间定义

设 $\lambda$ 是线性变换 $A:V\to V$ 的特征值，则所有 $N_m(\lambda)$ 的并集称为线性变换 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的根子空间，记作 $N(\lambda)$。

$$W_\lambda :=\bigcup_{m=1}^\infty W^m_\lambda=W^k_\lambda$$

空间第一分解定理

设 $\lambda_1,…,\lambda_t$ 是线性变换 $A:V\to V$ 的全部不同特征值，它们的代数重数分别为 $e_1,…e_t$ ，即 $A$ 的特征多项式

$$\varphi(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_1}...(\lambda-\lambda_t)^{e_t}$$

则有

$$V=W_{\lambda_1}\oplus...\oplus W_{\lambda_t}$$

证明略。

空间第二分解定理

循环子空间

设 $\alpha_0$ 是 $V$ 的非零向量， $V$ 中的线性变换 $A$ 的所有包含 $\alpha_0$ 的不变子空间的交称为由向量 $\alpha_0$ 生成的（相对线性变换 $A$ 的）循环子空间，记为 $C_0$ ，并且可以证明

$$C_0=\text{span}\lbrace \alpha_0,A\alpha_0,...,A^m\alpha_0,... \rbrace$$

空间第二分解定理

设 $W_{\lambda_j}$ 是线性变换 $A:V\to V$ 的属于特征值 $\lambda_j$ 的根子空间，则

$$W_{\lambda_j} = C_{j1}\oplus C_{j2} \oplus ...\oplus C_{jk_j}$$

$C_{jl}$ 是循环子空间，其中 $l=1,2,…,k_j$ ，$j=1,2,…,t$ 。

证明略。

总结

通过空间第一、第二分解定律，可以将 $V$ 分解为根子空间（对映不同特征值），每个根子空间再分解为循环子空间（对映几何重数），对应到 $J$ 中的每个 $Jordan$ 块。

计算

$$A=\begin{pmatrix} 3&-4&0&2\\ 4&-5&-2&4\\ 0&0&3&-2\\ 0&0&2&-1 \end{pmatrix}$$

求矩阵 $A$ 的 $Jordan$ 标准型。

Jordan 标准型

初等因子组法

这里介绍另外一个方法，相比课堂上的方法，在高维情况下更加适用，而在低维情况下，$Jordan$ 标准型其实可以通过简单的求代数重数和几何重数得到。

1） 将特征方阵 $\lambda I-A$ 化为 $Smith$ 标准形（第二、三初等变换仅限乘以常数和 $\lambda$ ），由此求得不变因子 $d_1(\lambda),…,d_n(\lambda)$ ；

$$\lambda I-A\sim\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2 \end{pmatrix}$$

其中 $d_1(\lambda)=d_2(\lambda)=d_3(\lambda)=1;d_4(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2$ 。

2） 把不变因子 $d_1(\lambda),…,d_n(\lambda)$ 分解为一次因子的乘积，求出初等因子组 $\lbrace (\lambda-\lambda_i)^{e_j} \rbrace$ ；

$$d_4(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2 \to (\lambda-1)^2,(\lambda+1)^2$$

3） 每个初等因子 $(\lambda-\lambda_i )^{e_j}$ 都对应着一个如下 $Jordan$ 块；

$$(\lambda-\lambda_i)^{e_j}\to J_{e_j}(\lambda_i)= \begin{pmatrix} \lambda_i&1&\cdots&0&0\\ 0&\lambda_i&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_i&1 \\ 0&0&\cdots&0&\lambda_i\\ \end{pmatrix}_{e_j\times e_j}$$ $$(\lambda-1)^2\to\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \\ (\lambda+1)^2\to\begin{pmatrix} -1&1\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}$$

4） 将 $Jordan$ 标准型即 $J=\text{diag}(J_{e_1}(\lambda_1),…)$ 。

$$J=\begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&1\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}$$

过渡矩阵 P

对于 $Jordan$ 块 $J_{e_j}(\lambda_i)$ 其对映的过渡矩阵部分为 $((A-\lambda_iI)^{e_j-1}\beta,…,(A-\lambda_iI)\beta,\beta)$ ，其中 $\beta$ 符合以下条件，

$$(A-\lambda_iI)^{e_j}\beta=0 \text{ and } (A-\lambda_iI)^{e_j-1}\beta\neq0$$