矩阵论9：正交变换

正交变换

定义

设 $\mathcal A$ 是 $n$ 维 Euclid 空间 $V$ 的线性变换，如果对任意 $\def\bm{\boldsymbol}\bm\alpha\in V$ ，

$$\Vert \mathcal A(\bm \alpha)\Vert = \Vert \bm \alpha \Vert$$

则 $\mathcal A$ 称为正交变换，并且下列命题等价：

1. $\mathcal A$ 是正交变换；
2. $\mathcal A$ 是保内积的，即

$$(\mathcal A(\bm\alpha),\mathcal A(\bm\alpha))=(\bm\alpha,\bm\alpha)$$

1. $V$ 的标准正交基经过 $\mathcal A$ 转化仍为标准正交基；

2. $\mathcal A$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的方阵是正交方阵。

证明大意：

$(1)\Leftarrow (2)$ 显然，以下证明 $(1)\Rightarrow (2)$：

$$\begin{aligned} \Vert \mathcal A(\bm \alpha)\Vert^2 &= \Vert \bm \alpha \Vert^2 \\ (\mathcal A(\bm\alpha+\bm\beta),\mathcal A(\bm\alpha+\bm\beta)) &= (\bm\alpha+\bm\beta,\bm\alpha+\bm\beta) \\ (\mathcal A(\bm\alpha)+\mathcal A(\bm\beta),\mathcal A(\bm\alpha)+\mathcal A(\bm\beta)) &= (\bm\alpha+\bm\beta,\bm\alpha+\bm\beta) \\ (\mathcal A(\bm\alpha),\mathcal A(\bm\alpha))+2(\mathcal A(\bm\alpha),\mathcal A(\bm\beta))+(\mathcal A(\bm\beta),\mathcal A(\bm\beta)) &= (\bm\alpha,\bm\alpha)+2(\bm\alpha,\bm\beta)+(\bm\beta,\bm\beta) \\ (\mathcal A(\bm\alpha),\mathcal A(\bm\beta)) &= (\bm\alpha,\bm\beta) \end{aligned}$$

$(3)\Leftarrow (2)$ 显然，以下证明 $(3)\Rightarrow (4)$：

设 $\mathcal A$ 在标准正交基 $\bm\xi_1,…,\bm\xi_n$ 下的矩阵为 $A$ ，即

$$\mathcal A(\bm\xi_1,...,\bm\xi_n)=(\mathcal A(\bm\xi_1),...,\mathcal A(\bm\xi_n))=(\bm\xi_1,...,\bm\xi_n)A$$

由于 (4) ，$(\mathcal A(\bm\xi_1),…,\mathcal A(\bm\xi_n))$ 和 $(\bm\xi_1,…,\bm\xi_n)$ 都是标准正交基，$A$ 作为过渡矩阵，是正交矩阵。

其余证明略。

性质